PSEB 10TH MATHEMATICS JULY 2025 BIMONTHLY QUESTION PAPER SOLVED PDF
Mathematics Assessment & Solutions: Real Numbers, Polynomials & Probability
Welcome to www.bestsolutionclass.com!
Hello students! As your PSEB Mohali Mathematics teacher, I’ve prepared a comprehensive question paper covering Chapters 1 (Real Numbers), 2 (Polynomials), and 13 (Probability). This paper is designed for 10+2 class, with a total of 40 marks and a minimum passing score of 20. After the question paper, you’ll find detailed solutions for all questions in both English and Punjabi mediums.
Mathematics Question Paper
Subject: Mathematics
Class: 10+2
Total Marks: 40
Minimum Pass Marks: 20
General Instructions:
- All questions are compulsory.
- Marks are indicated against each question.
- For the 6-mark question, an internal choice is provided.
English Medium – Question Paper
I. Multiple Choice Questions (MCQ) – (1 Mark Each)
- Which of the following is an irrational number?
- If the zeroes of the quadratic polynomial x² + (a+1)x + b are 2 and -3, then
- The probability of an event that is certain to happen is:
- A bag contains 3 red balls and 5 black balls. A ball is drawn at random from the bag. What is the probability that the ball drawn is red?
II. True / False – (1 Mark Each)
- Every integer is a rational number.
- The degree of a non-zero constant polynomial is 0.
III. Fill in the Blanks – (1 Mark Each)
- The sum of probabilities of all the elementary events of an experiment is ______.
- The LCM of 12 and 18 is ______.
IV. Short Answer Questions – (2 Marks Each)
- Find the zeroes of the quadratic polynomial x² – 2x – 8 and verify the relationship between the zeroes and the coefficients.
- Explain Euclid’s Division Lemma.
- A die is thrown once. Find the probability of getting:
V. Long Answer Questions – (6 Marks)
- Prove that √5 is an irrational number.
OR
Divide polynomial p(x) = x&sup4; – 3x² + 4x + 5 by polynomial g(x) = x² – x + 1 and find the quotient and remainder.
ਪੰਜਾਬੀ ਮੀਡੀਅਮ – ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਪੱਤਰ
ਆਮ ਹਦਾਇਤਾਂ:
- ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹਨ।
- ਹਰੇਕ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਦੇ ਅੰਕ ਉਸ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।
- 6 ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ ਲਈ ਅੰਦਰੂਨੀ ਚੋਣ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।
I. ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ (MCQ) – (ਹਰੇਕ 1 ਅੰਕ)
- ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ?
- ਜੇਕਰ ਦੋਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ x² + (a+1)x + b ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ 2 ਅਤੇ -3 ਹਨ, ਤਾਂ
- ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਘਟਨਾ ਜਿਸਦਾ ਵਾਪਰਨਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ:
- ਇੱਕ ਥੈਲੇ ਵਿੱਚ 3 ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਅਤੇ 5 ਕਾਲੀਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ। ਥੈਲੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਅਚਾਨਕ ਕੱਢੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੱਢੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਲਾਲ ਹੋਵੇਗੀ?
II. ਸਹੀ / ਗਲਤ (True / False) – (ਹਰੇਕ 1 ਅੰਕ)
- ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
- ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਅਚਲ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਘਾਤ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
III. ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਭਰੋ (Fill in the Blanks) – (ਹਰੇਕ 1 ਅੰਕ)
- ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਮੂਲ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ______ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
- 12 ਅਤੇ 18 ਦਾ ਲ.ਸ.ਵ. (LCM) ______ ਹੈ।
IV. ਛੋਟੇ ਉੱਤਰਾਂ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ – (ਹਰੇਕ 2 ਅੰਕ)
- ਦੋਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ x² – 2x – 8 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
- ਯੂਕਲਿਡ ਵੰਡ ਪ੍ਰਮੇਯਿਕਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
- ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ:
V. ਲੰਬੇ ਉੱਤਰਾਂ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ – (6 ਅੰਕ)
- ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ √5 ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਜਾਂ (OR)
ਬਹੁਪਦ p(x) = x&sup4; – 3x² + 4x + 5 ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ g(x) = x² – x + 1 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
Mathematics Assessment – Solutions
English Medium – Solutions
I. Multiple Choice Questions (MCQ)
- Which of the following is an irrational number?
(c) √2
Explanation: √9 = 3 (rational), 0.333… = 1/3 (rational), and 22/7 (rational). √2 cannot be expressed as a simple fraction, making it irrational. - If the zeroes of the quadratic polynomial x² + (a+1)x + b are 2 and -3, then
(d) a = 0, b = -6
Explanation: For Ax² + Bx + C, sum of zeroes = -B/A and product of zeroes = C/A.
Given zeroes are 2 and -3. Sum of zeroes: 2 + (-3) = -1. From polynomial: -(a+1)/1 = -(a+1). So, -(a+1) = -1 ⇒ a+1 = 1 ⇒ a = 0.
Product of zeroes: 2 × (-3) = -6. From polynomial: b/1 = b. So, b = -6. Thus, a=0, b=-6. - The probability of an event that is certain to happen is:
(b) 1
Explanation: The probability of a sure event is always 1. - A bag contains 3 red balls and 5 black balls. A ball is drawn at random from the bag. What is the probability that the ball drawn is red?
(a) 3/8
Explanation: Total number of balls = 3 + 5 = 8. Number of red balls = 3. Probability of drawing a red ball = 3/8.
II. True / False
- Every integer is a rational number.
True
Explanation: Any integer ‘n’ can be written as n/1. - The degree of a non-zero constant polynomial is 0.
True
Explanation: A non-zero constant polynomial, like 5, can be written as 5x&sup0;.
III. Fill in the Blanks
- The sum of probabilities of all the elementary events of an experiment is 1.
- The LCM of 12 and 18 is 36.
IV. Short Answer Questions
- Find the zeroes of the quadratic polynomial x² – 2x – 8 and verify the relationship between the zeroes and the coefficients.
Solution:
Given polynomial: p(x) = x² – 2x – 8.
To find the zeroes, set p(x) = 0:
x² – 2x – 8 = 0
Factorize: x² – 4x + 2x – 8 = 0
x(x – 4) + 2(x – 4) = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
So, the zeroes are x = 4 and x = -2. Let α = 4 and β = -2.Verification:
For ax² + bx + c, Sum of zeroes = -b/a, Product of zeroes = c/a.
In x² – 2x – 8, a=1, b=-2, c=-8.Sum of zeroes: α + β = 4 + (-2) = 2.
From coefficients: -b/a = -(-2)/1 = 2. (Verified)Product of zeroes: αβ = 4 × (-2) = -8.
From coefficients: c/a = -8/1 = -8. (Verified) - Explain Euclid’s Division Lemma.
Solution:
Euclid’s Division Lemma states that for any two positive integers ‘a’ (dividend) and ‘b’ (divisor), there exist unique integers ‘q’ (quotient) and ‘r’ (remainder) such that: a = bq + r, where 0 ≤ r < b. This lemma is fundamental for finding the HCF of two numbers using Euclid’s Division Algorithm. - A die is thrown once. Find the probability of getting: (i) a prime number (ii) an odd number
Solution:
Possible outcomes when a die is thrown: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Total outcomes = 6.(i) Prime numbers in S are {2, 3, 5}. Favorable outcomes = 3.
Probability = 3/6 = 1/2.(ii) Odd numbers in S are {1, 3, 5}. Favorable outcomes = 3.
Probability = 3/6 = 1/2.
V. Long Answer Questions
- Prove that √5 is an irrational number.
Solution:
Assume, to the contrary, that √5 is a rational number. Then, √5 = a/b, where ‘a’ and ‘b’ are coprime integers and b ≠ 0.
Squaring both sides: 5 = a² / b² ⇒ 5b² = a². (Eq. 1)
This implies a² is divisible by 5. Hence, ‘a’ is divisible by 5. So, a = 5k for some integer ‘k’.
Substitute a = 5k into Eq. 1: 5b² = (5k)² ⇒ 5b² = 25k² ⇒ b² = 5k².
This implies b² is divisible by 5. Hence, ‘b’ is divisible by 5.
Since both ‘a’ and ‘b’ are divisible by 5, they have a common factor of 5. This contradicts our assumption that ‘a’ and ‘b’ are coprime. Therefore, our initial assumption is false, and √5 is an irrational number.OR
Divide polynomial p(x) = x&sup4; – 3x² + 4x + 5 by polynomial g(x) = x² – x + 1 and find the quotient and remainder.
Solution:
Performing polynomial long division for (x&sup4; + 0x³ – 3x² + 4x + 5) ÷ (x² – x + 1):x² + x - 3 _________________ x²-x+1 | x&sup4; + 0x³ - 3x² + 4x + 5 -(x&sup4; - x³ + x²) _________________ x³ - 4x² + 4x -(x³ - x² + x) _________________ -3x² + 3x + 5 -(-3x² + 3x - 3) _________________ 8Quotient q(x) = x² + x – 3
Remainder r(x) = 8
ਪੰਜਾਬੀ ਮੀਡੀਅਮ – ਹੱਲ
I. ਬਹੁ-ਵਿਕਲਪੀ ਪ੍ਰਸ਼ਨ (MCQ)
- ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ?
(c) √2
ਵਿਆਖਿਆ: √9 = 3 (ਪਰਿਮੇਯ), 0.333… = 1/3 (ਪਰਿਮੇਯ), ਅਤੇ 22/7 (ਪਰਿਮੇਯ) ਹਨ। √2 ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਧਾਰਨ ਭਿੰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਅਪਰਿਮੇਯ ਹੈ। - ਜੇਕਰ ਦੋਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ x² + (a+1)x + b ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ 2 ਅਤੇ -3 ਹਨ, ਤਾਂ
(d) a = 0, b = -6
ਵਿਆਖਿਆ: ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ Ax² + Bx + C ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ = -B/A ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = C/A ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਿਫ਼ਰ 2 ਅਤੇ -3 ਹਨ। ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ: 2 + (-3) = -1। ਬਹੁਪਦ ਤੋਂ: -(a+1)/1 = -(a+1)। ਇਸ ਲਈ, -(a+1) = -1 ⇒ a+1 = 1 ⇒ a = 0। ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ: 2 × (-3) = -6। ਬਹੁਪਦ ਤੋਂ: b/1 = b। ਇਸ ਲਈ, b = -6। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, a=0, b=-6। - ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਘਟਨਾ ਜਿਸਦਾ ਵਾਪਰਨਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੈ, ਉਸਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ:
(b) 1
ਵਿਆਖਿਆ: ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹਮੇਸ਼ਾ 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ। - ਇੱਕ ਥੈਲੇ ਵਿੱਚ 3 ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਅਤੇ 5 ਕਾਲੀਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ। ਥੈਲੇ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਗੇਂਦ ਅਚਾਨਕ ਕੱਢੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਕੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ ਕੱਢੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਲਾਲ ਹੋਵੇਗੀ?
(a) 3/8
ਵਿਆਖਿਆ: ਕੁੱਲ ਗੇਂਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3 + 5 = 8। ਲਾਲ ਗੇਂਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3। ਲਾਲ ਗੇਂਦ ਕੱਢਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ = 3/8।
II. ਸਹੀ / ਗਲਤ (True / False)
- ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸਹੀ
ਵਿਆਖਿਆ: ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ‘n’ ਨੂੰ n/1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। - ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਅਚਲ ਬਹੁਪਦ ਦੀ ਘਾਤ 0 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
ਸਹੀ
ਵਿਆਖਿਆ: ਇੱਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਅਚਲ ਬਹੁਪਦ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ 5, ਨੂੰ 5x&sup0; ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
III. ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਭਰੋ (Fill in the Blanks)
- ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਮੂਲ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
- 12 ਅਤੇ 18 ਦਾ ਲ.ਸ.ਵ. (LCM) 36 ਹੈ।
IV. ਛੋਟੇ ਉੱਤਰਾਂ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ
- ਦੋਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ x² – 2x – 8 ਦੇ ਸਿਫ਼ਰ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ।
ਹੱਲ:
ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਬਹੁਪਦ: p(x) = x² – 2x – 8।
ਸਿਫ਼ਰ ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ, p(x) = 0 ਰੱਖੋ:
x² – 2x – 8 = 0
ਦੋਘਾਤੀ ਵਿਅੰਜਕ ਦੇ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਓ:
x² – 4x + 2x – 8 = 0
x(x – 4) + 2(x – 4) = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
ਇਸ ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ x = 4 ਅਤੇ x = -2। ਮੰਨ ਲਓ α = 4 ਅਤੇ β = -2।ਜਾਂਚ:
ਇੱਕ ਦੋਘਾਤੀ ਬਹੁਪਦ ax² + bx + c ਲਈ, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ = -b/a, ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ = c/a।
x² – 2x – 8 ਵਿੱਚ, a=1, b=-2, c=-8।ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ: α + β = 4 + (-2) = 2।
ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਤੋਂ: -b/a = -(-2)/1 = 2। (ਸਹੀ ਪਾਇਆ ਗਿਆ)ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ: αβ = 4 × (-2) = -8।
ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਤੋਂ: c/a = -8/1 = -8। (ਸਹੀ ਪਾਇਆ ਗਿਆ) - ਯੂਕਲਿਡ ਵੰਡ ਪ੍ਰਮੇਯਿਕਾ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰੋ।
ਹੱਲ:
ਯੂਕਲਿਡ ਵੰਡ ਪ੍ਰਮੇਯਿਕਾ (Euclid’s Division Lemma) ਇਹ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ‘a’ (ਭਾਜ) ਅਤੇ ‘b’ (ਭਾਜਕ) ਲਈ, ਵਿਲੱਖਣ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ‘q’ (ਭਾਗਫਲ) ਅਤੇ ‘r’ (ਬਾਕੀ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਕਿ:
a = bq + r, ਜਿੱਥੇ 0 ≤ r < b।
ਇਹ ਪ੍ਰਮੇਯਿਕਾ ਯੂਕਲਿਡ ਵੰਡ ਐਲਗੋਰਿਦਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ (HCF) ਪਤਾ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। - ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ: (i) ਇੱਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ (ii) ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆ
ਹੱਲ:
ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸੰਭਵ ਨਤੀਜੇ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ਹਨ। ਕੁੱਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 6।(i) S ਵਿੱਚ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ {2, 3, 5}। ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3।
ਸੰਭਾਵਨਾ P(E) = 3/6 = 1/2।(ii) S ਵਿੱਚ ਟਾਂਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ {1, 3, 5}। ਅਨੁਕੂਲ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ = 3।
ਸੰਭਾਵਨਾ P(F) = 3/6 = 1/2।
V. ਲੰਬੇ ਉੱਤਰਾਂ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਸ਼ਨ
- ਸਿੱਧ ਕਰੋ ਕਿ √5 ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਹੱਲ:
ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਵਿਰੋਧਾਭਾਸ ਦੁਆਰਾ ਸਿੱਧ ਕਰਾਂਗੇ। ਮੰਨ ਲਓ, ਇਸ ਦੇ ਉਲਟ, ਕਿ √5 ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।
ਤਾਂ, √5 = a/b, ਜਿੱਥੇ ‘a’ ਅਤੇ ‘b’ ਸਹਿ-ਅਭਾਜ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ ਅਤੇ b ≠ 0।
ਦੋਵੇਂ ਪਾਸੇ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੇ: 5 = a² / b² ⇒ 5b² = a²। (ਸਮੀ. 1)
ਇਸ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ a², 5 ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ‘a’, 5 ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਇਸ ਲਈ, a = 5k ਕਿਸੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ‘k’ ਲਈ।
a = 5k ਨੂੰ ਸਮੀ. 1 ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ: 5b² = (5k)² ⇒ 5b² = 25k² ⇒ b² = 5k²।
ਇਸ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ b², 5 ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ‘b’ ਵੀ 5 ਦੁਆਰਾ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ‘a’ ਅਤੇ ‘b’ ਦੋਵੇਂ 5 ਦੁਆਰਾ ਵੰਡੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਂਝਾ ਗੁਣਨਖੰਡ 5 ਹੈ। ਇਹ ਸਾਡੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਧਾਰਨਾ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ ਕਿ ‘a’ ਅਤੇ ‘b’ ਸਹਿ-ਅਭਾਜ ਹਨ।
ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਧਾਰਨਾ ਗਲਤ ਹੈ, ਅਤੇ √5 ਇੱਕ ਅਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।ਜਾਂ (OR)
ਬਹੁਪਦ p(x) = x&sup4; – 3x² + 4x + 5 ਨੂੰ ਬਹੁਪਦ g(x) = x² – x + 1 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰੋ ਅਤੇ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।
ਹੱਲ:
ਬਹੁਪਦ ਲੰਬਾ ਭਾਗ ਕਰਨਾ ਹੈ: (x&sup4; + 0x³ – 3x² + 4x + 5) ÷ (x² – x + 1):x² + x - 3 _________________ x²-x+1 | x&sup4; + 0x³ - 3x² + 4x + 5 -(x&sup4; - x³ + x²) _________________ x³ - 4x² + 4x -(x³ - x² + x) _________________ -3x² + 3x + 5 -(-3x² + 3x - 3) _________________ 8ਭਾਗਫਲ q(x) = x² + x – 3
ਬਾਕੀ r(x) = 8
We hope these solutions help you in your studies! Keep practicing and mastering these concepts. For more educational content, visit www.bestsolutionclass.com.